Гости в семье

Можно ли сказать «разрешите поднять тост?»

Нет. Тост нельзя «поднять». Поднять можно бокалы, рюмки. А тост можно предложить, произнести, провозгласить. Поэтому правильнее будет сказать: «Разрешите произнести тост» или «Давайте поднимем бокалы».